Question

【题目】已知函数

（Ⅰ）若函数的图像在点处的切线与直线平行，求实数的值；

（Ⅱ）讨论函数的单调性；

（Ⅲ）若在函数定义域内，总有成立，试求实数的最大值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)

【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义得，解得实数的值；（2）求导数并分解因式，根据a与1的大小分类讨论导函数符号，根据导函数符号确定函数的单调性；（3）先化简不等式，并根据不等式恒成立转化为对应函数最值问题： 最大值不大于零，再利用导数求得函数最值

从而有的最大值，最后利用导数求得最大值，即得实数的最大值.

试题解析：（Ⅰ）易得，且

由题意，得，解得，

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

①当时， ， 函数在单调递减，

②当时，由，得；

由，得或

函数在上单调递增，在上单调递减.

③当时，同理，得

函数在上单调递增，在上单调递减，

综上，当时，函数在单调递减；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减.

（Ⅲ）由题意，知恒成立，

恒成立，

恒成立，

令，则只需

，

由，得，

当时， ，此时，函数在上单调递减；

当时， ，此时，函数在上单调递减，

令，则只需

由，得，此时， 在上单调递减，

由，得，此时， 在上单调递减，

，

即

故所求实数的最大值为