Question

如图，设P是圆x²＋y²＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.

(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；

(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度.

Answer 1

(1)设点M的坐标是(x，y)，点P的坐标是(x_P，y_P)，因为点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|，所以x_P＝x，且y_P＝y，

∵P在圆x²＋y²＝25上，∴x²＋(y)²＝25，整理得＋＝1，

即点M的轨迹C的方程是＋＝1.

(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程是y＝(x－3)，

设此直线与C的交点为A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程＋＝1得：

＋＝1，化简得x²－3x－8＝0，

∴x₁＋x₂＝3，x₁x₂＝－8，

|x₁－x₂|＝＝，

所以线段AB的长度是|AB|＝

＝＝

＝，即所截线段的长度是.