Question

（2013•朝阳区一模）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字-1，0，1，2．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．
（Ⅰ）在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；
（Ⅱ）在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；
（Ⅲ）在两次试验中，记卡片上的数字分别为ξ，η，试求随机变量X=ξ•η的分布列与数学期望EX．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据古典概型概率计算公式求解：P（A）=

n(A)

n(Ω)

；
（Ⅱ）设事件B：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数，则P（B）=1-P（

.

B

），根据独立重复试验中某事件发生k次的概率计算公式即可求得；
（Ⅲ）由题意可知ξ，η的可能取值为-1，0，1，2，从而随机变量X的可能取值为-2，-1，0，1，2，4．根据古典概型该类计算公式求得X取各值时的概率即可写出分布列，利用期望公式即可求得期望值；

解答：解：（Ⅰ）设事件A：在一次试验中，卡片上的数字为正数，则P(A)=

2

4

=

1

2

．
答：在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是

1

2

．
（Ⅱ）设事件B：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数．
由（Ⅰ）可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是

1

2

．
所以P(B)=1-[

C

0 4

(

1

2

)0•(

1

2

)4+

C

1 4

1

2

•(

1

2

)3]=

11

16

．
答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为

11

16

．
（Ⅲ）由题意可知，ξ，η的可能取值为-1，0，1，2，
所以随机变量X的可能取值为-2，-1，0，1，2，4．
P(X=-2)=

2

4×4

=

1

8

；P(X=-1)=

2

4×4

=

1

8

；P(X=0)=

7

4×4

=

7

16

；P(X=1)=

2

4×4

=

1

8

；P(X=2)=

2

4×4

=

1

8

；P(X=4)=

1

4×4

=

1

16

．
所以随机变量X的分布列为

X	-2	-1	0	1	2	4
P	1 8	1 8	7 16	1 8	1 8	1 16

所以E(X)=-2×

1

8

-1×

1

8

+0×

7

16

+1×

1

8

+2×

1

8

+4×

1

16

=

1

4

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列及期望，考查古典概型概率计算公式，考查学生对问题的阅读理解能力．