Question

如图，有一矩形钢板ABCD缺损了一角（图中阴影部分），边缘线OM上每一点到D的距离都等于它到边AB的距离．工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，若AB=1米，AD=0.5米，向如何画切割线EF可使剩余部分五边形ABCEF的面积最大？

Answer 1

分析：建立直角坐标系，表示出三角形DEF的面积S_△DEF，利用导数判断其单调性可得何时取最小值即得当x=

3

6

时，S_△EFD取得最小值，相应地，五边形ABCEF的面积最大．

解答：解：由条件易知边缘线OM是以点D为焦点，直线AB为准线的抛物线的一部分
以O为原点，AD所在的直线为y轴，则D（0，

1

4

）M（

1

2

，

1

4

），易得边缘线OM所在的抛物线方程为：y=x²（0≤x≤

1

2

）
要使如图的五边形ABCEF的面积最大，则必有EF所在的直线与抛物线相切，设切点为P（t，t²）则直线EF的方程为y=2t（x-t）+t²即y=2tx-t²由此可求点E，F的坐标分别为E（

1+4t2

8t

，

1

4

）F（0，-t²）
∴S△DEF=

1

2

×

1+4t2

8t

×(

1

4

+t2)=

16t4+8t2+1

64t

，t∈(0，

1

2

)
∵

S

′ △EFD

=

1

64

48t2+8t2-1

t2

=

(12t2-1)(4t2+1)

64t2

=

3(4t2+1)(t+ 3 6 )(t- 3 6 )

16t2

显然函数在（0，

3

6

]上是减函数，在[

3

6

，

1

2

]上是增函数，
∴当x=

3

6

时，S_△EFD取得最小值，相应地，五边形ABCEF的面积最大．
此时点E，F的坐标分别为E（

3

3

，

1

4

），F（O，-

1

12

）
即沿直线EF的线段切割可使五边形ABCEF的面积最大．

点评：本题考查通过题意求函数解析式，利用导数判断函数的单调性达到求五边形面积最大值的要求．