Question

在长方形AA₁B₁B中，AB=2AA₁，C，C₁分别AB，A₁B₁是的中点（如图1）．将此长方形沿CC₁对折，使平面AA₁C₁C⊥平面CC₁B₁B（如图2），已知D，E分别是A₁B₁，CC₁的中点．
（1）求证：C₁D∥平面A₁BE；
（2）求证：平面A₁BE⊥平面AA₁B₁B．

Answer 1

分析：（1）利用线面平行的判定定理，证明EF∥C₁D即可．
（2）利用面面垂直的判定定理去证明．

解答：解：（1）取A₁B的中点F，连结DF，EF，
∵D，F分别为A₁B₁，A₁B的中点，∴DF是△A₁BB₁的中位线，

∴DF∥BB1∥CC1 且DF= 1 2 BB1= 1 2 CC1

即四边形C₁EFD为平行四边形，
∴EF∥C₁D
∵EF?平面A₁BE，
∴C₁D∥平面A₁BE．…（4分）
（2）依题意：平面A₁B₁C₁⊥平面A₁BBA，
∵D为A₁B₁的中点，且三角形A₁C₁B₁为等腰直角三角形，
∴C₁D⊥A₁B₁，由面面垂直的性质定理得C₁D⊥平面A₁BB₁A，…（6分）
又∵C₁D∥EF，∴EF⊥平面A₁BB₁A，
∵EF?平面A₁BE，
平面A₁BE⊥平面AA₁B₁B．…（8分）

点评：本题主要考查了线面平行和面面平行的判定，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．