Question

（2010•湖北模拟）设y=f^-1（x）是函数f（x）=2^x+1的反函数，若f^-1（a）+f^-1（b）=0，则a+b的最小值为

4

．

Answer 1

分析：求出原函数的反函数，得到f^--1（x），再结合题中条件方程f^-1（a）+f^-1（b）=0，化简，利用基本不等式求a+b的最小值．

解答：解：∵函数f（x）=2^x+1的反函数为f^--1（x）=log₂x-1，
∴由f^-1（a）+f^-1（b）=0得：
log₂a-1+log₂b-1=0，
∴ab=4，a＞0，b＞0．
根据基本不等式得：
∴a+b≥2

ab

=4，（当且仅当a=b=2时取等号）．
则a+b的最小值是4．
故答案为：4．

点评：本题用到的知识比较丰富，具有综合性特点，涉及了反函数、指数式和对数式的互化、对数的运算、由基本不等式

a+b

2

≥

ab

求最值等多方面的知识，是这些内容的有机融合，思维密度较大；解题中用注意对数的运算公式化简log₂a+log₂b=2得a、b的关系式．