Question

如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E、F分别为PA、PD的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：
①直线BE与直线CF异面；
②直线BE与直线AF异面；
③直线EF∥平面PBC；
④平面BCE⊥平面PAD．
其中正确的命题的个数是    个．

Answer 1

【答案】分析：①根据三角形的中位线定理可得四边形EFBC是平面四边形，直线BE与直线CF共面；
②由异面直线的定义即可得出；
③由线面平行的判定定理即可得出；
④可举出反例．
解答：解：由展开图恢复原几何体如图所示：
①在△PAD中，由PE=EA，PF=FD，根据三角形的中位线定理可得EF∥AD，
又∵AD∥BC，∴EF∥BC，
因此四边形EFBC是平面四边形，故直线BE与直线CF不是异面直线，所以①不正确；
②由点A不在平面EFCB内，直线BE不经过点F，根据异面直线的定义可知：直线BE与直线AF异面，所以②正确；
③由①可知：EF∥BC，EF?平面PBC，BC?平面PBC，∴直线EF∥平面PBC，故③正确；
④如图：假设平面BCEF⊥平面PAD．
过点P作PO⊥EF分别交EF、AD于点O、N，在BC上取一点M，连接PM、OM、MN，
∴PO⊥OM，又PO=ON，∴PM=MN．
若PM≠MN时，必然平面BCEF与平面PAD不垂直．
故④不一定成立．
综上可知：只有②③正确，即正确的命题的个数是2．
故答案为2．
点评：正确理解线面、面面平行与垂直的判定与性质定理和异面直线的定义是解题的关键．