Question

已知数列{a_n}是正数等差数列，其中a₁=1，且a₂、a₄、a₆+2成等比数列；数列{b_n}的前n项和为S_n，满足2S_n+b_n=1．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）如果c_n=a_nb_n，设数列{c_n}的前n项和为T_n，是否存在正整数n，使得T_n＞S_n成立，若存在，求出n的最小值，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得(a1+3d)2=(a1+d)(a1+5d+2)，求出d=1，从而得到a_n=n．由2S_n+b_n=1，得Sn=

1

2

(1-bn)，由此得到数列{b_n}是首项为

1

3

，公比为

1

3

的等比数列，从而bn=

1

3n

．
（2）cn=anbn=

n

3n

，由此利用错位相减法求出Tn-Sn=

1

4

-

2n+1

4

×

1

3n

，由此得到所求的正整数n存在，其最小值是2．

解答： （本题满分13分）
解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，
∵a₁=1，且a₂、a₄、a₆+2成等比数列，
∴依条件有a42=a2(a6+2)，
即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+5d+2)，解得d=-

1

2

（舍）或d=1，
所以a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）=n．…（2分）
由2S_n+b_n=1，得Sn=

1

2

(1-bn)，
当n=1时，2S₁+b₁=1，解得b1=

1

3

，
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=

1

2

(1-bn)-

1

2

(1-bn-1)=-

1

2

bn+

1

2

bn-1，
所以bn=

1

3

bn-1，
所以数列{b_n}是首项为

1

3

，公比为

1

3

的等比数列，
故bn=

1

3n

．…（5分）
（2）由（1）知，cn=anbn=

n

3n

，
所以Tn=1×

1

3

+2×

1

32

+3×

1

33

+…+n×

1

3n

①

1

3

Tn=1×

1

32

+2×

1

33

+3×

1

34

+…+n×

1

3n+1

②
得Tn=

3

4

-

3

4

×

1

3n

-

n

2

×

1

3n

=

3

4

-

2n+3

4

×

1

3n

．…（9分）
又Sn=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

2

-

1

2×3n

．
所以Tn-Sn=

1

4

-

2n+1

4

×

1

3n

，
当n=1时，T₁=S₁，
当n≥2时，

1

4

-

2n+1

4

×

1

3n

＞0，所以T_n＞S_n，
故所求的正整数n存在，其最小值是2．…（13分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的正整数是否存在的判断与其最小值的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．