【题目】某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间如下:
组号 | 第一组 | 第二组 | 第三组 | 第四组 | 第五组 |
分组 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
(1)求图中a的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分;
(3)现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生,将该样本看成一个总体,从中随机抽取2名,求其中恰有1人的分数不低于90分的概率.
【答案】(1) a=0.005;(2) 74.5;(3)见解析.
【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图性质，每个小长方形面积等于该组的频率，所有小长方形面积和等于
，所以
，可以求出
；（2）本问考查由频率分布直方图估算样本数据的平均数，用每组的频率乘以该组数据中点横坐标的值，再相加即可；（3）根据频率分布直方图可知，第三、四、五组的频率之比为
，根据分层抽样性质，第三、四、五组抽取人数一次为
人，
人，人，从
人随机抽取人，共有
种不同的抽取方法，再求出恰有人不低于
分的事件个数，就可以求出相应的概率.
试题解析：（1）由题意得，所以
；
（2）由直方图分数在
的频率为0.05，
的频率为0.35，
的频率为0.30，
的频率为0.20，
的频率为0.10，所以这100名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为：
；
（3）由直方图，得：第3组人数为：
人，
第4组人数为：
人，
第5组人数为：
人，
所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，
每组分别为：第3组：
人，
第4组：
人，
第5组：
人，
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．
设第3组的3位同学为
，第4组的2位同学为
，第5组的1位同学为
，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：
，
，
其中恰有1人的分数不低于90分的情形有：
，共5种，所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为
．
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【题目】下列问题中，最适合用简单随机抽样方法抽样的是（ ）
A.某县从该县中、小学生中抽取200人调查他们的视力情况
B.从15种疫苗中抽取5种检测是否合格
C.某大学共有学生5600人，其中专科生有1300人、本科生3000人、研究生1300人，现抽取样本量为280的样本调查学生利用因特网查找学习资料的情况，
D.某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众中的熟知度，要对
岁的人群进行随机抽样调查
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【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：
．
若圆C的切线l在x轴和y轴上的截距相等，且截距不为零，求切线l的方程；
已知点
为直线
上一点，由点P向圆C引一条切线，切点为M，若
，求点P的坐标．
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【题目】在某次高中学科知识竞赛中，对4000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为
，
，
，
，
，
，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（ ）
A.成绩在的考生人数最多B.不及格的考生人数为1000
C.考生竞赛成绩的平均分约为70D.考生竞赛成绩的中位数为75分
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【题目】设点A，B的坐标分别为（-2，0），（2，0）直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是-
．
（1）求点M的轨迹E的方程；
（2）设直线l：y=kx与E交于C，D两点，F1（-1，0），F2（1，0），若E上存在点P，使得
，求实数k的取值范围．
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【题目】某车间有5名工人其中初级工2人，中级工2人，高级工1人
现从这5名工人中随机抽取2名．
Ⅰ
求被抽取的2名工人都是初级工的概率；
Ⅱ求被抽取的2名工人中没有中级工的概率．
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【题目】如图，
、
是以
为直径的圆上两点，
，
，
是上一点，且
，将圆沿直径折起，使点在平面
的射影
在
上，已知
.
（1）求证：
⊥平面
；
（2）求证：
平面
；
（3）求三棱锥
的体积.
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【题目】某车间有5名工人其中初级工2人，中级工2人，高级工1人
现从这5名工人中随机抽取2名．
Ⅰ
求被抽取的2名工人都是初级工的概率；
Ⅱ求被抽取的2名工人中没有中级工的概率．
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【题目】如图，摄影爱好者在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为
，已知摄影爱好者的身高约为
米（将眼睛S距地面的距离SA按米处理）．
（1）求摄影爱好者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB；
（2）立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN，且MN绕其中点O在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转．在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者观察彩杆MN的视角
（设为
）是否存在最大值？若存在，请求出取最大值时
的值；若不存在，请说明理由．
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