Question

如图，直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱） ABC-A₁B₁C₁，在底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M，N分别为A₁B₁，A₁A的中点．
（1）求cos＜

BA1

，

CB1

＞的值；    
（2）求证：BN⊥平面C₁MN．

Answer 1

分析：（1）以C为原点，CA，CB，CC₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的坐标系C-xyz，求得A₁（1，0，2），C（0，0，0），B₁（0，1，2），B（0，1，0），从而可求得

BA1

=（1，-1，2），

CB1

=（0，1，2），

BA1

•

CB1

=3，|

BA1

|=

6

，|

CB1

|=

5

，于是可求得cos＜

BA1

，

CB1

＞的值．
（2）利用向量的坐标运算可求得

C1M

•

BN

=0，

C1N

•

BN

=0，C₁M∩C₁N=C₁，由线面垂直的判定定理即可证得结论．

解答：解：以C为原点，CA，CB，CC₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的坐标系C-xyz，
（1）依题意，A₁（1，0，2），C（0，0，0），B₁（0，1，2），B（0，1，0），
∴

BA1

=（1，-1，2），

CB1

=（0，1，2），
∴

BA1

•

CB1

=1×0+（-1）×1+2×2=3，
又|

BA1

|=

6

，|

CB1

|=

5

，
∴cos＜

BA1

，

CB1

＞=

BA1 • CB1

| BA1 |• | CB1 |

=

30

10

…6分
证明：（2）A₁（1，0，2），C₁（0，0，2），B₁（0，1，2），N（1，0，1），
∴M（

1

2

，

1

2

，2），∴

C1M

=（

1

2

，

1

2

，2），

C1N

=（1，0，-1），

BN

=（1，-1，1），
∴

C1M

•

BN

=

1

2

×1+

1

2

×（-1）+1×0=0，同理可求

C1N

•

BN

=0，
∴

C1M

⊥

BN

，

C1N

⊥

BN

，C₁M∩C₁N=C₁，
∴BN⊥平面C₁MN…12分．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，考查异面直线及其所成的角，建立空间直角坐标系求得所需各点与向量的坐标是关键，考查分析与运算能力，空间转化的能力，属于中档题．