Question

已知a，b为正实数．
(1)求证：≥a＋b；
(2)利用(1)的结论求函数y＝ (0<x<1)的最小值．

Answer 1

（1）见解析（2）1

(1)证明：方法一：∵a>0，b>0，
∴(a＋b) ＝a²＋b²＋≥a²＋b²＋2ab＝(a＋b)².
∴≥a＋b，当且仅当a＝b时等号成立．
方法二：－(a＋b)
＝，
又∵a>0，b>0，∴≥0，
当且仅当a＝b时等号成立．∴≥a＋b.
方法三：∵a>0，b>0，∴a²＋b²≥2ab.
∴a＋≥2b，b＋≥2a，∴(a＋b)＋≥2a＋2b.
∴≥a＋b.(当且仅当a＝b时取等号)．
(2)∵0<x<1，∴1－x>0，
由(1)的结论，函数y＝≥(1－x)＋x＝1.
当且仅当1－x＝x，即x＝时等号成立．
∴函数y＝ (0<x<1)的最小值为1.