Question

已知，在水平平面α上有一长方体AC₁绕BC旋转90⁰得到如图所示的几何体．
（Ⅰ）证明：平面ADC₁B₁⊥平面EFC₂B₂；
（Ⅱ）当AB=BC=1时，直线CB₂与平面ADC₁B₁所成的角的正弦值为，求AA₁的长度；
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，设旋转过程中，平面BCC₁B₁与平面α所成的角为θ，长方体AC₁的最高点离平面α的距离为f（θ），请直接写出f（θ）的一个表达式，并注明定义域．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：延长B₂E交AB₁于N，
∵△ABB₁≌△EBB₂，
∴∠AB₁B=∠EB₂B，
∵∠AB₁B+∠B₁AB=90°，
∴∠EB₂B+∠B₁AB=90°，
∴∠ANB₂=90°
即 AB₁⊥B₂E
又∵EF⊥AB₁∵EF∩B₂E=E
∴AB₁⊥平面EFC₂B₂
又∵AB₁?平面ADC₁B₁，
∴平面ADC₁B₁⊥平面EFC₂B₂；
（Ⅱ）如图，以CB₁，CC₂，CC₁所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，
设AA₁=a
∵AB=BC=1，则B₂（1，a，0），A（1，-1，0），D（0，-1，0），B₁（1，0，a）
∴=（1，a，0），
设平面ADC₁B₁的一个法向量为，
则由，取
设直线
解得a=
（Ⅲ）
分析：（Ⅰ） 延长B₂E交AB₁于N，利用平面几何知识证出AB₁⊥B₂E，再结合EF⊥AB₁，可证出平面AB₁⊥平面EFC₂B₂，从而证出平面ADC₁B₁⊥平面EFC₂B₂．
（Ⅱ）以CB₁，CC₂，CC₁所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，设AA₁=a 利用向量的方法表示出与面ADC₁B₁所成的角的正弦值 通过解方程解决．
（Ⅲ）旋转过程中，平面BCC₁B₁与平面α所成的角为θ=∠B₁BB₂，最高点为A₁，离平面α的距离是△A₁BB₂边BB₂上的高，在△A₁BB₂中表示出即可．
点评：本题考查面面位置关系、线面角的度量、空间距离的表示，考查分析解决问题、空间想象、转化、计算的能力与方程思想．