Question

数列{a_n}的通项a_n=n（cos²

nπ

2

-sin²

nπ

2

），其前n项和为S_n，则S₂₀₁₀为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：根据余弦的二倍角公式化简a_n，分别求出a₁、a₂、a₃、a₄，找出规律可得a_2k-1+a_2k=1，再求出S₂₀₁₀的值．

解答： 解：由题意得，a_n=n（cos²

nπ

2

-sin²

nπ

2

）=ncosnπ，
当n=1时，a₁=cosπ=-1；当n=2时，a₂=2cos2π=2；
当n=3时，a₃=3cos3π=-3；当n=4时，a₄=4cos4π=4；
所以当n=2k-1（k∈N₊）时，a_n+a_n+1=a_2k-1+a_2k=-（2k-1）+2k=1，
所以S₂₀₁₀=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₂₀₀₉+a₂₀₁₀=1005，
故答案为：1005．

点评：本题主要考查了二倍角的余弦公式、并项求和方法的应用，解题的关键是发现数列相邻的奇数项与偶数项的和为定值．