Question

按要求证明下列各题．
（1）已知a₁+a₂+a₃+a₄＞100，用反证法证明a₁，a₂，a₃，a₄中，至少有一个数大于25；
（2）已知a，b是不相等的正数．用分析法证明a³+b³＞a²b+ab²．

Answer 1

证明：（1）假设a₁，a₂，a₃，a₄均不大于25，…（2分）
那么，a₁+a₂+a₃+a₄≤25+25+25+25=100，这与已知条件矛盾．
所以，a₁，a₂，a₃，a₄中，至少有一个数大于25． …（6分）
（2）要证明a³+b³＞a²b+ab²，只需证明（a+b）（a²-ab+b²）＞ab（a+b），
只需证明（a+b）（a²-ab+b²）-ab（a+b）＞0，
只需证明（a+b）（a²-2ab+b²）＞0，
只需证明（a+b）（a-b）²＞0．…（11分）
∵a，b是不相等的正数，∴a+b＞0，（a-b）²＞0成立，…（13分）
这样，就证明了命题的结论成立．…（15分）
分析：（1）假设a₁，a₂，a₃，a₄均不大于25，则得a₁+a₂+a₃+a₄≤25+25+25+25=100，这与已知条件矛盾，故假设不对．
故要证的结论成立．
（2）要证明不等式成立，只需证明（a+b）（a²-ab+b²）-ab（a+b）＞0，即证（a+b）（a-b）²＞0，由a，b是不相等的正数，可得+b＞0，（a-b）²＞0成立，从而，原不等式成立．
点评：本题主要考查用反证法证明数学命题，用分析法证明不等式成立，属于中档题．