Question

已知函数f（x）=2sinxcosx-2sin²x+1（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=

3

，A为锐角，且f(A+

π

8

)=

2

3

，求△ABC面积S的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系将f（x）=2sinxcosx-2sin²x+1（x∈R）转化为f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），利用正弦函数的性质即可求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）由f（A+

π

8

）=

2

3

，可求得cos2A=

1

3

，而A为锐角，可求得cosA、sinA，又a=

3

，利用余弦定理与基本不等式可得bc≤

9

2

+

3 6

2

，从而可求得△ABC面积S的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinxcosx-sin²x+1
=2sinxcosx+cos2x
=sin2x+cos2x
=

2

（

2

2

sin2x+

2

2

cos2x）
=

2

sin（2x+

π

4

）---（2分）
∴f（x）的最小正周期为π；--------------------（3分）
∵-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），
∴-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ（k∈Z），
∴f（x）的增区间为（-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ）（k∈Z），-----------（6分）
（Ⅱ）∵f（A+

π

8

）=

2

3

，
∴

2

sin（2A+

π

2

）=

2

3

，
∴cos2A=

1

3

，
∴2cos²A-1=

1

3

，
∵A为锐角，即0＜A＜

π

2

，
∴cosA=

6

3

，
∴sinA=

1-cos2A

=

3

3

．--------------------（8分）
又∵a=

3

，由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即(

3

)2=b²+c²-2bc•

6

3

，
∵b²+c²≥2bc，
∴bc≤

9

2

+

3 6

2

．-------------------------（10分）
∴S=

1

2

bcsinA≤

1

2

（

9

2

+

3 6

2

）•

3

3

=

3( 3 + 2 )

4

．---------（12分）

点评：本题考查同角三角函数基本关系，考查正弦函数的单调性与最值，突出余弦定理与基本不等式的应用，综合性强，属于中档题．