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设函数,若g(x)=(x-2)2f(x-1),y=g(x)的反函数y=g-1(x),则g(3)•g-1(1)的值为( )
A.-3
B.-1
C.1
D.3
【答案】分析:f(x)为分段函数,要求g(3)•g-1(1)可以先求g(3),代入g(x)=(x-2)2f(x-1),根据分段函数的性质即可求得,再求g-1(1)相当于求方程(x-2)2f(x-1)=1,求出x的值;
解答:解:∵函数,若g(x)=(x-2)2f(x-1),
∴g(3)=(3-2)2f(2)=f(2)=1;
要求g-1(1),y=g(x)的反函数y=g-1(x),
∴可得方程(x-2)2f(x-1)=1,
当x=1时,f(x-1)=f(0)=0,显然不可能;(x-2)2≥0,∴f(x-1)≠-1,即x≥0
若(x-2)2=1,可得x=3或x=1(舍去),
当x=3时,(3-2)2f(2)=1,满足,∴g-1(1)=3,
∴g(3)•g-1(1)=3,
故选D;
点评:此题主要考查函数的值的求法以及反函数的定义,难度中等,考查的知识点比较全面,是一道好题;
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