Question

【题目】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c﹣a=2bcosA．
（1）求角B的大小；
（2）若b=2 ，求a+c的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵2c﹣a=2bcosA，

∴根据正弦定理，得2sinC﹣sinA=2sinBcosA，

∵A+B=π﹣C，可得sinC=sin（A+B）=sinBcosA+cosBsinA，

∴代入上式，得2sinBcosA=2sinBcosA+2cosBsinA﹣sinA，

化简得（2cosB﹣1）sinA=0

∵A是三角形的内角可得sinA＞0，∴2cosB﹣1=0，解得cosB= ，

∵B∈（0，π），∴B=

（2）解：由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得12=a2+c2﹣ac．

∴（a+c）2﹣3ac=12，∴12≥（a+c）2﹣ ac，（当且仅当a=c=2 时）

∴a+c≤4 ，

∴a+c的最大值为4

【解析】（1）根据正弦定理与两角和的正弦公式，化简等式2bcosA=2c﹣a，可得（2cosB﹣1）sinA=0，结合sinA＞0得到cosB，从而解出B；（2）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB的式子，解出12=a2+c2﹣ac．再利用基本不等式得出结论．