精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
点P为圆O:x2+y2=a2(a>0)上一动点,PD⊥x轴于D点,记线段PD的中点M的运动轨迹为曲线C.
(I)求曲线C的方程;
(II)若动直线l与曲线C交于A、B两点,当△OAB(O是坐标原点)面积取得最大值,且最大值为1时,求a的值.
分析:(Ⅰ)确定P,M坐标之间的关系,利用P是圆上的动点,代入x2+y2=a2,即可得曲线C的方程;
(Ⅱ)分类讨论:①当l斜率不存在时,可得S△OAB最大值为
a2
4
;②当l斜率存在时,表示出三角形的面积,利用基本不等式,可得S△OAB的最大值为
a2
4
,由已知得
a2
4
=1
,从而可求a的值.
解答:解:(Ⅰ)设P(x0,y0),M(x,y),由
x=x0
y=
1
2
y0
,得
x0=x
y0=2y
,…(2分)
代入x2+y2=a2,得 
x2
a2
+
y2
a2
4
=1
.…(4分)
(Ⅱ)①当l斜率不存在时,设x=t,由已知得-a<t<a,
x2+4y2=a2
x=t
,得y2=
a2-t2
4

所以S△OAB=
1
2
×2|y|×|x|=|t|•
a2-t2
2
=
(a2-t2)t2
2
a2
4

当且仅当t2=a2-t2,即|t|=
2
2
a
时,等号成立.
此时S△OAB最大值为
a2
4
.…(5分)
②当l斜率存在时,设其方程为y=kx+m,
x2+4y2=a2
y=kx+m
,消去y整理得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-a2=0,
△=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-a2)=4[4k2+a2-4m2]
由△>0,得4k2a2+a2-4m2>0①
设A(x1,y1),B(x2,y2),则  x1+x2=
-8km
4k2+1
x1x2=
4m2-a2
4k2+1
②…(7分)
|AB|=
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=
(1+k2)[(
-8km
4k2+1
)
2
-4•
4m2-a2
4k2+1
]
=
2
4k2+1
(1+k2)[a2(1+4k2)-4m2]

原点到直线l距离为 d=
|m|
1+k2
,④…(9分)
由面积公式及③④得
S△OAB=
1
2
×|AB|d=
1
2
2
4k2+1
(1+k2)[a2(1+4k2)-4m2]
|m|
1+k2
 
=
1
2
4m2
1+4k2
(a2-
4m2
1+4k2
)
1
2
4m2
1+4k2
+(a2-
4m2
1+4k2
)
2
=
a2
4
…(11分)
综合①②,S△OAB的最大值为
a2
4
,由已知得
a2
4
=1
,所以 a=2.…(12分)
点评:本题考查代入法求轨迹方程,考查三角形面积的计算,考查分类讨论的数学思想,考查基本不等式的运用,正确表示三角形的面积是关键.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦点F及点A(0,b),原点O到直线FA的距离为
2
2
b

(1)求椭圆C的离心率e;
(2)若点F关于直线l:2x+y=0的对称点P在圆O:x2+y2=4上,求椭圆C的方程及点P的坐标.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知圆M的圆心在直线2x-y-6=0上,且过点(1,2)、(4,-1).
(1)求圆M的方程;
(2)设P为圆M上任一点,过点P向圆O:x2+y2=1引切线,切点为Q.试探究:平面内是否存在一定点R,使得
PQPR
为定值?若存在,求出点R的坐标;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•武昌区模拟)如图,已知点P是圆C:x2+(y-2
2
)
2
=1
上的一个动点,点Q是直线l:x-y=0上的一个动点,O为坐标原点,则向量
OP
在向量
OQ
上的投影的最大值是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:深圳一模 题型:解答题

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦点F及点A(0,b),原点O到直线FA的距离为
2
2
b

(1)求椭圆C的离心率e;
(2)若点F关于直线l:2x+y=0的对称点P在圆O:x2+y2=4上,求椭圆C的方程及点P的坐标.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2012-2013学年江西省吉安市白鹭洲中学高三(上)期中数学试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

已知椭圆的左焦点F及点A(0,b),原点O到直线FA的距离为
(1)求椭圆C的离心率e;
(2)若点F关于直线l:2x+y=0的对称点P在圆O:x2+y2=4上,求椭圆C的方程及点P的坐标.

查看答案和解析>>

同步练习册答案
鍏� 闂�