Question

点P为圆O：x²+y²=a²（a＞0）上一动点，PD⊥x轴于D点，记线段PD的中点M的运动轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程；
（II）若动直线l与曲线C交于A、B两点，当△OAB（O是坐标原点）面积取得最大值，且最大值为1时，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）确定P，M坐标之间的关系，利用P是圆上的动点，代入x²+y²=a²，即可得曲线C的方程；
（Ⅱ）分类讨论：①当l斜率不存在时，可得S_△OAB最大值为

a2

4

；②当l斜率存在时，表示出三角形的面积，利用基本不等式，可得S_△OAB的最大值为

a2

4

，由已知得

a2

4

=1，从而可求a的值．

解答：解：（Ⅰ）设P（x₀，y₀），M（x，y），由

x=x0 y= 1 2 y0

，得

x0=x y0=2y

，…（2分）
代入x²+y²=a²，得 

x2

a2

+

y2

a2 4

=1．…（4分）
（Ⅱ）①当l斜率不存在时，设x=t，由已知得-a＜t＜a，
由

x2+4y2=a2 x=t

，得y2=

a2-t2

4

所以S△OAB=

1

2

×2|y|×|x|=|t|•

a2-t2

2

=

(a2-t2)t2

2

≤

a2

4

，
当且仅当t²=a²-t²，即|t|=

2

2

a时，等号成立．
此时S_△OAB最大值为

a2

4

．…（5分）
②当l斜率存在时，设其方程为y=kx+m，
由

x2+4y2=a2 y=kx+m

，消去y整理得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-a²=0，
△=（8km）²-4（4k²+1）（4m²-a²）=4[4k²+a²-4m²]
由△＞0，得4k²a²+a²-4m²＞0①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则  x1+x2=

-8km

4k2+1

，x1x2=

4m2-a2

4k2+1

②…（7分）

|AB|= (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] = (1+k2)[( -8km 4k2+1 )2-4• 4m2-a2 4k2+1 ] = 2 4k2+1 • (1+k2)[a2(1+4k2)-4m2]

③
原点到直线l距离为 d=

|m|

1+k2

，④…（9分）
由面积公式及③④得

S△OAB= 1 2 ×|AB|d= 1 2 • 2 4k2+1 • (1+k2)[a2(1+4k2)-4m2] |m| 1+k2

= 1 2 • 4m2 1+4k2 (a2- 4m2 1+4k2 ) ≤ 1 2 • 4m2 1+4k2 +(a2- 4m2 1+4k2 ) 2 = a2 4 ，

…（11分）
综合①②，S_△OAB的最大值为

a2

4

，由已知得

a2

4

=1，所以 a=2．…（12分）

点评：本题考查代入法求轨迹方程，考查三角形面积的计算，考查分类讨论的数学思想，考查基本不等式的运用，正确表示三角形的面积是关键．