Question

已知命题p：?x₀∈R，ax₀²+1≤0，命题q：关于x的不等式ax²-ax+1＞0的解集为R，若“p或q”与“￢p”同时为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：命题p：?x₀∈R，ax₀²+1≤0，其￢p：?x₀∈R，ax₀²+1＞0，当a=0时，直接验证即可；当a≠0时，则

a＞0 △=0-4a＜0

，解得a的范围．命题q：关于x的不等式ax²-ax+1＞0的解集为R，当a=0时，直接验证；当a≠0时，则

a＞0 △=a2-4a＜0

，解得a的范围．若“p或q”与“￢p”同时为真命题，则p为假命题，q为真命题．即可得出．

解答： 解：命题p：?x₀∈R，ax₀²+1≤0，其￢p：?x₀∈R，ax₀²+1＞0，当a=0时，不等式即1＞0，成立；当a≠0时，则

a＞0 △=0-4a＜0

，解得0＜a．综上可得：0≤a．
命题q：关于x的不等式ax²-ax+1＞0的解集为R，当a=0时，不等式即1＞0，成立；当a≠0时，则

a＞0 △=a2-4a＜0

，解得0＜a＜4．综上可得：0≤a＜4．
若“p或q”与“￢p”同时为真命题，则p为假命题，q为真命题．
∴

a≥0 0≤a＜4

．
∴实数a的取值范围是[0，4）．

点评：本题考查了简易逻辑的判定、不等式的解集与判别式的关系、分类讨论思想方法，考查了推理能力，属于基础题．