Question

已知函数f(x)=2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x．
（1）将f（x）的解析基本功化成Asin（ωx+φ）+b的形式，并求函数f（x）图象离y轴最近的对称轴的方程；
（2）求函数f(x)在区间[0，

π

2

]内的值域．

Answer 1

分析：（1）先根据二倍角公式与和角公式化简解析式，再由正弦函数的对称性求其对称轴即可
（2）借助（1）中化简后的解析式，利用正弦函数的单调性求函数f(x)在区间[0，

π

2

]的值域即可

解答：解：（1）由题意f(x)=2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x=1+sin2x-

3

cos2x=1+2sin（2x-

π

3

）
 令2x-

π

3

=kπ+

π

2

，得x=

kπ

2

+

5π

12

，当k=-1时，|x|的值最小，
故函数f（x）图象离y轴最近的对称轴的方程是x=-

π

12

（2）当x∈[0，

π

2

]时2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，2sin（2x-

π

3

）∈[-

3

，2]
 故函数f(x)在区间[0，

π

2

]内的值域为[1-

3

，3]

点评：本题考点是三角函数的恒等变换以及正弦函数的对称性、正弦函数的单调性，属于三角函数性质的基本运用题，解答本题要注意三角函数值域的求法步骤．