Question

7．利用二重积分性质，估计二重积分的值：I=$\underset{∬}{D}$xydσ，D={（x，y）|x²+y²≤1，x≥0，y≥0}．

Answer 1

分析 根据二重积分的中值定理，m≤I/σ≤M，其中m和M分别是f（x，y）在D上的最小值和最大值，设x=cosxa，y=sina，利用三角函数的有界性求f（x，y）的最值，从而得到I的范围．

解答 解：因为I=$\underset{∬}{D}$xydσ，D={（x，y）|x²+y²≤1，x≥0，y≥0}．
所以设x=cosa≥0，y=sina≥0，a∈[0，$\frac{π}{2}$]，所以xy=$\frac{1}{2}$sin2a，所以其最大值为$\frac{1}{2}$，最小值为0，又S（σ）=π，
所以I=$\underset{∬}{D}$xydσ∈[0，$\frac{π}{2}$]．

点评 本题考查了二重积分的中值定理的运用；关键是求出f（x，y）在D上的最小值和最大值．