Question

（2011•浙江模拟）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且1+

tanA

tanB

=

2c

b

．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若△ABC是锐角三角形，求sinB+sinC的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 在△ABC中，由正弦定理可得c=2rsinC，b=2rsinB 代入条件化简可得sin（A+B）=2sinCcosA，求出cosA=

1

2

，从而求得角A．
（Ⅱ）化简sinB+sinC 为

3

sin(C+

π

6

)，根据角C+

π

6

的范围，结合正弦函数的定义域和值域求出sinB+sinC的取值范围．

解答：解：（Ⅰ） 在△ABC中，由正弦定理可得c=2rsinC，b=2rsinB．
∵1+

tanA

tanB

=

2c

b

，∴1+

tanA

tanB

=

2sinC

sinB

，化简可得 sin（A+B）=2sinCcosA．
∵A+B=π-C，∴sin（A+B）=sinC≠0，∴cosA=

1

2

，∵0＜A＜π，∴A=

π

3

．
（Ⅱ）sinB+sinC=sin(

2π

3

-C)+sinC=sin

2π

3

cosC-cos

2π

3

sinC+sinC
=

3

2

sinC+

3

2

cosC=

3

sin(C+

π

6

)．
∵锐角三角形，所以，0＜C＜

π

2

，0＜B=

2π

3

-C＜

π

2

，∴

π

6

＜C＜

π

2

，

π

3

＜C+

π

6

＜

2π

3

，
∴sin(C+

π

6

)∈(

3

2

，1]，sinB+sinC∈(

3

2

，

3

]．

点评：本题考查正弦定理、两角和差的正弦公式的应用，式子的变形，是解题的关键．