Question

【题目】已知函数，．若函数的图象在点处的切线与的图象也相切．

（1）求的方程和的值；

（2）设不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

（1）求导，再求得，写出切线的方程，设直线与的图象相切于点，，由求解.

（2）将不等式，对任意的恒成立，转化为，对任意的恒成立，记，用导数法求其最小值，由求解.

（1），

所以，

故切线的方程为，

即：，

设直线与的图象相切于点，，

由题意可得，解得．

（2）由，得不等式为，

等价于不等式，

记，

，

令得或．

①当时，（舍去），所以．

当时，，当时，，

所以恒成立，

故，此时的取值范围是．

②当时，，

当时，，当时，，当时，，

所以，即，

解得，可得此时的取值范围是．

综合①②可知，

所以实数的取值范围是．