Question

如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直，已知AB＝2，AD＝EF＝1．

（Ⅰ）设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；
（Ⅱ）设平面CBF将几何体EF-ABCD分割成的两个锥体的体积分别为V_F-ABCD、V_F-CBE，求V_F-ABCD：V_F-CBE的值．

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）4.

试题分析：（Ⅰ）在平面内找一条直线与已知直线平行，通过线线平行可证；（Ⅱ）通过等体积法来求；
试题解析：（Ⅰ）如图，设FD的中点为N，连结AN，MN．

∵M为FC的中点，
∴MN∥CD，MN＝CD．
又AO∥CD，AO＝CD，
∴MN∥AO，MN＝AO，
∴MNAO为平行四边形，
∴OM∥AN，
又OM?平面DAF，AN?平面DAF，
∴OM∥平面DAF．                        6分
（Ⅱ）如图，过点F作FG⊥AB于G．
∵平面ABCD⊥平面ABEF，
∴FG⊥平面ABCD，
∴V_F-ABCD＝S_ABCD·FG＝FG．
∵CB⊥平面ABEF，
∴V_F-CBE＝V_C-BEF＝S_△BEF·CB＝·EF·FG·CB＝FG．
∴V_F-ABCD：V_F-CBE＝4．                       13分