Question

已知向量

a

=(x+3，-k)，

b

=(x，x+3)，且函数f(x)=

a

•

b

．
（Ⅰ）若不等式f（x）≥0 在区间[1，+∞）上恒成立，求实数 k的取值范围；
（II）若k∈R，记函数g(x)=

f(x)

，试探析函数g（x）的定义域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式求得f（x）=（x+3）（x-k），由（x+3）（x-k）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，可得k的取值范围．
（II）由函数g(x)=

f(x)

=

(x+3)(x-k)

，可得（x+3）（x-k）≥0，分k＞-3、k＜-3、k=-3三种情况，分别求出不等式的解集，即可求出函数g（x）的定义域．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

a

•

b

=x（x+3）-k（x+3）=（x+3）（x-k），不等式f（x）≥0 在区间[1，+∞）上恒成立，
∴（x+3）（x-k）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，∴k≤1．
  （II）∵函数g(x)=

f(x)

=

(x+3)(x-k)

，
∴（x+3）（x-k）≥0．
当k＞-3时，可得函数g（x）的定义域为 {x|-3≤x≤k}；
当k＜-3时，可得函数g（x）的定义域为 {x|k≤x≤-3}；
当k=-3时，（x+3）（x-k）=（x+3）²≥0 恒成立，故定义域为R．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，一元二次不等式的解法，函数的恒成立问题，求函数的定义域，属于中档题．