Question

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos（θ-

π

3

）=1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．
（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．

Answer 1

分析：（1）先利用三角函数的差角公式展开曲线C的极坐标方程的左式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得．
（2）先在直角坐标系中算出中点P的坐标，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标和直线OP的极坐标方程即可．

解答：解：（Ⅰ）由ρcos(θ-

π

3

)=1得ρ(

1

2

cosθ+

3

2

sinθ)=1
从而C的直角坐标方程为

1

2

x+

3

2

y=1
即
x+

3

y=2
θ=0时，ρ=2，所以M（2，0）
θ=

π

2

时，ρ=

2 3

3

，所以N(

2 3

3

，

π

2

)
（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0）
N点的直角坐标为(0，

2 3

3

)
所以P点的直角坐标为(1.

3

3

)，则P点的极坐标为(

2 3

3

，

π

6

)，
所以直线OP的极坐标方程为θ=

π

6

，ρ∈（-∞，+∞）

点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．