Question

在等比数列{a_n}中，a_n＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，且2是a₃与a₅的等比中项，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，当

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

最大时，求n的值．

Answer 1

分析：（1）将数列的已知等式利用等比数列的通项公式用首项、公比表示，解方程组求出首项与公比，利用等比数列的通项公式求出数列{a_n}的通项公式．
（2）求出数列{b_n}的通项，利用等差数列的前n项和公式求出数列{b_n}的前n项和，求出通项

Sn

n

，判断出当n=9时，其为0得到和最大时n的值．

解答：解：（1）∵a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，且2是a₃与a₅的等比中项
∴a₁²q⁴+2a₁²q⁶+a₁²q⁸=25   ①
a₁²q⁶=4   ②
解①②的a1=16，q=

1

2

∴an=16•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-5
故数列{a_n}的通项公式an=(

1

2

)n-5；
（2）∵b_n=log₂a_n=5-n
∴Sn=

(9-n)n

2

∴

Sn

n

=

9-n

2

当n=9时

Sn

n

=

9-n

2

=0
∴

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

最大时，n=8或9
故n=8或9．

点评：解决等比数列、等差数列两个特殊数列的有关问题，常利用它们的通项公式、前n项和公式列出方程组，通过解方程组求出通项和公差、公比再求其他量即可．