Question

11．已知a_n=$\frac{8}{6-{a}_{n-1}}$，a₁=$\frac{4}{3}$，求证：{$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}-4}$}为等比数列．

Answer 1

分析 根据数列的递推关系，结合等比数列的定义进行证明即可．

解答 解：∵a_n=$\frac{8}{6-{a}_{n-1}}$，
∴（6-a_n-1）a_n=8，
即6a_n-a_n-1a_n=8，
则a_n-1a_n=6a_n-8，
则当n≥2时，$\frac{\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}-4}}{\frac{{a}_{n-1}-2}{{a}_{n-1}-4}}$=$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}-4}$$•\frac{{a}_{n-1}-4}{{a}_{n-1}-2}$=$\frac{{a}_{n}{a}_{n-1}-2{a}_{n-1}-4{a}_{n}+8}{{a}_{n}{a}_{n-1}-4{a}_{n-1}-2{a}_{n}+8}$
=$\frac{6{a}_{n}-8-2{a}_{n-1}-4{a}_{n}+8}{6{a}_{n}-8-4{a}_{n-1}-2{a}_{n}+8}$=$\frac{2（{a}_{n}-{a}_{n-1}）}{4（{a}_{n}-{a}_{n-1}）}$=$\frac{1}{2}$为常数，
故：{$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}-4}$}为公比q=$\frac{1}{2}$的等比数列．

点评 本题主要考查等比数列的判定，根据数列的递推关系以及等比数列的定义是解决本题的关键．