Question

（1）求经过直线l₁：7x-8y-1=0和l₂：2x+17y+9=0的交点，且垂直于直线2x-y+7=0的直线方程．
（2）直线l经过点P（5，5），且和圆C：x²+y²=25相交，截得弦长为4

5

，求l的方程．

Answer 1

分析：（1）由方程组

2x+17y+9=0 7x-8y-1=0

，解得直线l₁：7x-8y-1=0和l₂：2x+17y+9=0的交点坐标为(-

11

27

，-

13

27

)．由此能求出所求的直线方程．
（2）设直线l的方程为y-5=k（x-5）．圆C：x²+y²=25的圆心为（0，0），半径r=5，圆心到直线l的距离d=

|5-5k|

1+k2

．由此能求出直线l的方程．

解答：（1）解：由方程组

2x+17y+9=0 7x-8y-1=0

，
解得

x=- 11 27 y=- 13 27

，所以交点坐标为(-

11

27

，-

13

27

)．
又因为直线斜率为k=-

1

2

，
所以求得直线方程为27x+54y+37=0．
（2）解：如图易知直线l的斜率k存在，设直线l的方程为y-5=k（x-5）．
圆C：x²+y²=25的圆心为（0，0），半径r=5，圆心到直线l的距离d=

|5-5k|

1+k2

．
在Rt△AOC中，d²+AC²=OA²，

(5-5k)2

1+k2

+(2

5

)2=25．
∴2k²-5k+2=0，∴k=2或k=

1

2

．
故直线l的方程为2x-y-5=0或x-2y+5=0．

点评：本题考查直线方程的求法，具体涉及到直线的交点坐标的求法、点到直线的距离公式的运用、圆的基本性质等基础知识，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答．