Question

如图，四面体中，、分别是、的中点，

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求异面直线与所成角余弦值的大小；
（Ⅲ）求点到平面的距离．

Answer 1

（Ⅰ）略；（Ⅱ）；（Ⅲ）

试题分析：（Ⅰ）中主要利用线线垂直可证线面垂直；（Ⅱ）中通过作平行线转化到三角形内解角；当然也可建系利用空间向量来解；（Ⅲ）中利用等体积法可求，亦可用空间向量来解.
试题解析：（Ⅰ）证明：连结OC


在中，由已知可得而
   即
          平面      4分
（Ⅱ）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC
直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角
在中，

是直角斜边AC上的中线，
       8分
（Ⅲ）解：设点E到平面ACD的距离为确规定


在中，

而

点E到平面ACD的距离为      12分
方法二：（Ⅰ）同方法一.
（Ⅱ）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则


异面直线AB与CD所成角的余弦值为
（Ⅲ）解：设平面ACD的法向量为则


令得是平面ACD的一个法向量，   又
点E到平面ACD的距离