Question

1．若x，y满足（x-1）²+（y+2）²=4，则2x+y的最大值和最小值分别为2$\sqrt{5}$和-2$\sqrt{5}$．x²+y²的最大值和最小值分别为9+4$\sqrt{5}$和9-4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由题意方程求得圆的参数方程，然后利用三角函数最值的求法得2x+y的最大值和最小值．x²+y²表示（x，y）到原点的距离的平方，即可求出x²+y²的最大值和最小值．

解答 解：设x=1+2cosα，y=-2+2sinα，则
2x+y=2+4cosα-2+2sinα=4cosα+2sinα=2$\sqrt{5}$sin（α+θ），
∴2x+y的最大值和最小值分别为2$\sqrt{5}$，-2$\sqrt{5}$；
x²+y²表示（x，y）到原点的距离的平方，
∵圆心（1，-2）到原点的距离为$\sqrt{5}$，
∴x²+y²的最大值为（$\sqrt{5}$+2）²=9+4$\sqrt{5}$，最小值为（$\sqrt{5}$-2）²=9-4$\sqrt{5}$，
故答案为：2$\sqrt{5}$，-2$\sqrt{5}$；9+4$\sqrt{5}$，9-4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查圆的简单几何性，考查了椭圆参数方程的应用，训练了三角函数的最值的求法，是中档题．