Question

已知定义在R上的函数f（x）=ax³-3x，a为常数，且x=1是函数f（x）的一个极值点．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+f'（x）-6，x∈R，求g（x）的单调区间；
（Ⅲ） 过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，利用f′（1）=0，求出a的值；
（Ⅱ）通过函数g（x）=f（x）+f′（x）-6，x∈R，求出g（x）的表达式，通过函数的导数，利用导数为0，求出函数的单调区间；
（Ⅲ） 利用 f′（x）=3（x²-1），设切点为T（x₀，y₀），则切线的斜率相等，方程有3个解，就是函数有2个极值点，并且极大值大于0，极小值小于0，即可求m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3（ax²-1），x=1是函数f（x）的一个极值点，则f′（1）=0，
∴a-1=0，∴a=1．
又f'（x）=3（x+1）（x-1），函数f（x）在x=1两侧的导数异号，
∴a=1．…（2分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）=f（x）+f′（x）-6=x³+3x²-3x-9．
则g′（x）=3（x²+2x-1），令g′（x）=0，得x²+2x-1=0，∴x1=-1-

2

，x2=-1+

2

．
随x的变化，g′（x）与g（x）的变化如下：

x	(-∞，-1- 2 )	-1- 2	(-1- 2 ，-1+ 2 )	-1+ 2	(-1+ 2 ，+∞)
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）		极大值		极小值

所以函数g（x）的单调增区间为(-∞，-1-

2

)和(-1+

2

，+∞)，单调减区间为(-1-

2

，-1+

2

)．…（8分）
（Ⅲ） f′（x）=3（x²-1），设切点为T（x₀，y₀），则切线的斜率为k=3

x

2 0

-3=

y0-m

x0-1

=

x 3 0 -3x0-m

x-1

，…（9分）
整理得2x³-3x²+m+3=0，依题意，方程有3个根．…（10分）
设h（x）=2x³-3x²+m+3，则h′（x）=6x²-6x=6x（x-1）．
令h′（x）=0，得x₁=0，x₂=1，则h（x）在区间（-∞，0），[1，+∞）上单调递增，
在区间（0，1）上单调递减．…（11分）
因此，

h(0)=m+3＞0 h(1)=m+2＜0

，解得-3＜m＜-2．所以m的取值范围为（-3，-2）．…（14分）

点评：本题是难题，考查函数的导数的应用，极值的处理方法，切线的斜率与导数的函数值的关系，考查逻辑推理能力，分析问题解决问题的能力，计算量大，考查函数与方程的思想，转化思想，常考题型．