Question

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁F⊥CD，如图2．
（Ⅰ）求证：DE∥平面A₁CB；  
（Ⅱ）求证：A₁F⊥BE．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由D，E分别是AC，AB上的中点，结合中位线定理和线面平行的判定定理可得结论；
（Ⅱ）由已知易得对折后DE⊥平面A₁DC，即DE⊥A₁F，结合A₁F⊥CD可证得A₁F⊥平面BCDE，再由线面垂直的性质可得结论．

解答：证明：（Ⅰ）∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC，
∵DE?平面A₁CB，BC?平面A₁CB，
∴DE∥平面A₁CB，
（Ⅱ）由已知得AC⊥BC且DE∥BC，
∴DE⊥AC，∴DE⊥A₁D，
又DE⊥CD，A₁D∩CD=D
∴DE⊥平面A₁DC，
∵A₁F?平面A₁DC，
∴DE⊥A₁F，
又∵A₁F⊥CD，CD∩DE=D，CD，DE?平面BCDE；
∴A₁F⊥平面BCDE
又∵BE?平面BCDE
∴A₁F⊥BE．

点评：本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定与性质，考查学生的分析推理证明与逻辑思维能力，其中熟练掌握空间线面关系的判定及性质，会将空间问题转化为平面问题是解答本题的关键．