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第一行是等差数列0,1,2,3,…,2008,将其相邻两项的和依次写下作为第二行,第二行相邻两项的和依次写下作为第三行,依此类推,共写出2008行.
0,1,2,3,…,2005,2006,2007,2008
1,3,5,…,4011,4013,4015
4,8,…,8024,8028

(1)由等差数列性质知,以上数表的每一行都是等差数列.记各行的公差组成数列{di}(i=1,2,3…,2008).求通项公式di
(2)各行的第一个数组成数列{bi}(1,2,3,…,2008),求数列{bi}所有各项的和.
分析:(1)记ai•j表示第i行第j列的项,求出 di+1=2di,可得{di}是等比数列,di=d1•2i-1=2i-1
(2)化简bi+1=ai1+ai2=2bi+2i-1,可得
bi+1
2i+1
=
bi
2i
+
1
4
,得数列{
bi
2i
}是等差数列,bi=
1
4
(i-1)2i=(i-1)2i-2,数列{bi}所有各项的和S=0+1+2×2+3×22+…+2007×22006,用错位相减法,得到S的值.
解答:解. (1)记ai•j表示第i行第j列的项,
∵di+1=a(i+1)•(k+1)-a(i+1)•k =ai•(k+1)+ai•(k+2)-ai•k-ai•(k+1)=ai•(k+2)-ai•k=2di
di+1
di
=2,则{di}是等比数列,di=d1•2i-1=2i-1
(2)bi+1=ai1+ai2=ai1+ai1+di=2ai1+2i-1=2bi+2i-1,∴
bi+1
2i+1
=
bi
2i
+
1
4

∴数列{
bi
2i
}是等差数列,
bi
2i
=
1
4
(i-1),所以 bi=
1
4
(i-1)2i=(i-1)2i-2
设数列{bi}所有各项的和S,则 S=0+1+2×2+3×22+…+2007×22006  ①,
∴2 S=0+1×2+2×22+3×23+…+2007×22007 ②,
用①-②可得-S=-1003×22008-1.
从而得到S=1003×22008 +1.
点评:本题是中档题,考查数列的有关知识,证明数列是等差数列,数列的递推关系式的应用,数列与函数的综合应用,
考查计算能力,属于中档题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

第一行是等差数列0,1,2,3,…,2006,将其相邻两项的和依次写下作为第二行,第二行相邻两项的和依次写下作为第三行,依此类推,共写出2007行.

(1)求证:第1行至第2006行各行都构成等差数列.(定义只有两项的数列a1,a2也称等差数列);
(2)各行的公差组成数列{di}(i=1,2,3,…,2006).求通项公式di
(3)各行的第一个数组成数列{aj}(j=1,2,3,…,2006),求通项公式aj
(4)求2007行的这个数.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

第一行是等差数列0,1,2,3,…,2008,将其相邻两项的和依次写下作为第二行,第二行相邻两项的和依次写下作为第三行,依此类推,共写出2008行.
0,1,2,3,…,2005,2006,2007,2008
1,3,5,…,4011,4013,4015
4,8,…,8024,8028

(1)由等差数列性质知,以上数表的每一行都是等差数列.记各行的公差组成数列{di}(i=1,2,3…,2008).求通项公式di
(2)各行的第一个数组成数列{bi}(1,2,3,…,2008),求数列{bi}所有各项的和.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

第一行是等差数列0,1,2,3,…,2006,将其相邻两项的和依次写下作为第二行,第二行相邻两项的和依次写下作为第三行,依此类推,共写出2007行.

(1)求证:第1行至第2006行各行都构成等差数列.(定义只有两项的数列a1,a2也称等差数列);
(2)各行的公差组成数列{di}(i=1,2,3,…,2006).求通项公式di
(3)各行的第一个数组成数列{aj}(j=1,2,3,…,2006),求通项公式aj
(4)求2007行的这个数.

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科目:高中数学 来源:2012年江苏省常州中学高考冲刺复习单元卷:函数与数列2(解析版) 题型:解答题

第一行是等差数列0,1,2,3,…,2008,将其相邻两项的和依次写下作为第二行,第二行相邻两项的和依次写下作为第三行,依此类推,共写出2008行.
0,1,2,3,…,2005,2006,2007,2008
1,3,5,…,4011,4013,4015
4,8,…,8024,8028

(1)由等差数列性质知,以上数表的每一行都是等差数列.记各行的公差组成数列{di}(i=1,2,3…,2008).求通项公式di
(2)各行的第一个数组成数列{bi}(1,2,3,…,2008),求数列{bi}所有各项的和.

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