Question

（2009•卢湾区二模）在平面直角坐标系中，若O为坐标原点，则A、B、C三点在同一直线上的充要条件为存在惟一的实数λ，使得

OC

=λ•

OA

+(1-λ)•

OB

成立，此时称实数λ为“向量

OC

关于

OA

和

OB

的终点共线分解系数”．若已知P₁（3，1）、P₂（-1，3），且向量

OP3

是直线l：x-y+10=0的法向量，则“向量

OP3

关于

OP1

和

OP2

的终点共线分解系数”为

-1

．

Answer 1

分析：由向量

OP3

是直线l：x-y+10=0的法向量得出向量

OP3

与向量

a

=（1，1）垂直，则由两向量垂直数量积为零，我们可设出向量

OP3

的坐标，然后根据

OP3

=λ•

OP1

+(1-λ)•

OP2

，我们可以构造一个关于λ的方程组，利用待定系数法即可求出λ的值．

解答：解：由向量

OP3

是直线l：x-y+10=0的法向量得出：

OP3

与向量

a

=（1，1）垂直，
可设

OP3

=(t，-t)(t≠0)，
由

OP3

=λ•

OP1

+(1-λ)•

OP2

得（t，-t）=λ（3，1）+（1-λ）（-1，3）
=（4λ-1，3-2λ），
∴

4λ-1=t 3-2λ=-t

，
两式相加得2λ+2=0，
∴λ=-1．
故答案为：-1．

点评：本小题主要考查向量在几何中的应用、向量共线的充要条件等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．