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14.有下列4个命题:
①两个平面垂直,过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此直线必垂直于另一平面;
②平面α内两条不平行的直线都平行于另一平面β,则α∥β; 
③两条直线和一个平面所成的角相等,则这两条直线平行;
④直线a不平行于平面α,则平面α内不存在与直线a平行的直线.
其中正确命题的个数是(  )
A.4B.3C.2D.1

分析 通过举反例,得到①③④都是错误命题,利用平面与平面平行的判定定理,得到②是正确命题.

解答 解:在①中:两个平面垂直,过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此直线不一定垂直于另一平面,
举反例:以图1中的长方体为例,平面ABB1A1⊥平面ABCD,交线为AB,
点B∈平面ABB1A1,BC1⊥AB,但BC1不垂直于平面ABCD,故①错误;
在②中:平面α内两条不平行的直线都平行于另一平面β,根据平面与平面平行的判定定理,得②正确;
在③中:两条直线和一个平面所成的角相等,则这两条直线不一定平行,
举反例:图2的圆锥中,SA,SB与底面所在平面所成的角相等,但SA与SB不平行,故③错误;
在④中:直线a不平行于平面α,则平面α内有可能存在与直线a平行的直线,
举反例:当直线a?平面α时,平面α内存在与直线a平行的直线,故④错误.
故选:D.

点评 本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要注意空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的合理运用.

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