Question

【题目】三棱锥P﹣ABC中，已知PA=PB=PC=AC=4，BC= AB=2 ，O为AC中点．

（1）求证：PO⊥平面ABC；
（2）求异面直线AB与PC所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由题意，∵PA=PB=PC=AC=4，AC的中点O，

连接OP，OB，易得：OP⊥AC；

∵ ，

，

∴AC2=AB2+BC2，

故得△ABC为Rt△，

∴OB=OC=2，PB2=OB2+OP2，

∴OP⊥OB．

又∵AC∩BO=O且AC、OB面ABC，

∴OP⊥平面ABC

（2）解：分别取PB，BC中点EF，连接OE，OF，EF，

则AB∥OF，PC∥EF，故，∠EFO为异面直线AB与PC所成角（或补角）

由（Ⅰ）知在直角三角形POB中， ，

又 ， ；

在等腰三角形EOF中， ．

所以，异面直线AB与PC所成角的余弦值为 ．

【解析】（1）直线垂直平面，只需要证明直线垂直平面内的两条相交直线即可．由题意，因为PA=PB=PC=AC=4，AC的中点O，连接OP，OB，易得：OP⊥AC，同理可证△ABC为Rt△，OP⊥OB，AC∩BO=O且AC、OB面ABC可得OP⊥平面ABC．（2）利用O为AC中点，分别取PB，BC中点EF，连接OE，OF，EF，则AB∥OF，PC∥EF，故，∠EFO为异面直线AB与PC所成角．放在等腰三角形EOF即可求解．
【考点精析】认真审题，首先需要了解异面直线及其所成的角(异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系)，还要掌握直线与平面垂直的判定(一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想)的相关知识才是答题的关键．