Question

【题目】已知函数 ．
（1）求f（x）的极值；
（2）当0＜x＜e时，求证：f（e+x）＞f（e﹣x）；
（3）设函数f（x）图象与直线y=m的两交点分别为A（x1 ， f（x1）、B（x2 ， f（x2）），中点横坐标为x0 ， 证明：f'（x0）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ，f（x）的定义域是（0，+∞），

x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；

x∈（e，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．

当x=e时，f（x）取极大值为 ，无极小值

（2）解：要证f（e+x）＞f（e﹣x），即证： ，

只需证明：（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x）．

设F（x）=（e﹣x）ln（e+x）﹣（e+x）ln（e﹣x），

，

∴F（x）＞F（0）=0，

故（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x），

即f（e+x）＞f（e﹣x）

（3）解：证明：不妨设x1＜x2，由（1）知0＜x1＜e＜x2，∴0＜e﹣x1＜e，

由（2）得f[e+（e﹣x1）]＞f[e﹣（e﹣x1）]=f（x1）=f（x2），

又2e﹣x1＞e，x2＞e，且f（x）在（e，+∞）上单调递减，

∴2e﹣x1＜x2，即x1+x2＞2e，

∴ ，∴f'（x0）＜0

【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值即可；（2）问题转化为证明（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x），设F（x）=（e﹣x）ln（e+x）﹣（e+x）ln（e﹣x），根据函数的单调性证明即可．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．