Question

（2013•南通二模）为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会．计划用1 600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1 000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为（kx+800）元（其中k为常数）．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元．
（每平方米平均综合费用=

购地费用+所有建筑费用

所有建筑面积

）．
（1）求k的值；
（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？

Answer 1

分析：（1）求出每幢楼为5层时的所有建筑面积，算出所有建筑费，直接由每平方米平均综合费用=

购地费用+所有建筑费用

所有建筑面积

列式求出k的值；
（2）设小区每幢为n（n∈N*）层时，每平方米平均综合费用为f （n），同样利用题目给出的每平方米平均综合费用的关系式列出f （n）的表达式，然后利用基本不等式求出f （n）的最小值，并求出层数．

解答：解：（1）如果每幢楼为5层，那么所有建筑面积为10×1000×5平方米，
所有建筑费用为[（k+800）+（2k+800）+（3k+800）+（4k+800）+（5k+800）]×1000×10，所以，
1270=

16000000+[(k+800)+(2k+800)+(3k+800)+(4k+800)+(5k+800)]×1000×10

10×1000×5

，
解之得：k=50．
（2）设小区每幢为n（n∈N*）层时，每平方米平均综合费用为f （n），由题设可知
f （n）=

16000000+[(50+800)+(100+800)+…+(50n+800)]×1000×10

10×1000×n

=

1600

n

+25n+825≥2

1600×25

+825=1 225（元）．
当且仅当

1600

n

=25n，即n=8时等号成立．
答：该小区每幢建8层时，每平方米平均综合费用最低，此时每平方米平均综合费用为1225元．

点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了学生的数学建模能力和计算能力，是中档题．