Question

设函数f（x）是定义在R上周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有f（x）-f（-x）=0，当x∈[-1，0]，f（x）=x²e^-（x+1）．若g（x）=f（x）-log_ax在x∈（0，+∞）有且仅有三个零点，则a的取值范围为（　　）

• A、[3，5]
• B、[4，6]
• C、（3，5）
• D、（4，6）

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：由题意可判断出函数f（x）是周期为2的偶函数，从而作出函数的图象，结合图象求a的取值范围．

解答： 解：∵对任意的实数x，恒有f（x）-f（-x）=0，
∴函数f（x）是周期为2的偶函数，
又∵当x∈[-1，0]，f（x）=x²e^-（x+1），
而g（x）=f（x）-log_ax在x∈（0，+∞）有且仅有三个零点
可化为函数f（x）与y=log_ax在x∈（0，+∞）上有三个不同的交点，
故作函数f（x）与y=log_ax在（0，+∞）上的图象可得，

由图象可得，log_a3＜1，log_a5＞1；
故3＜a＜5；
故选C．

点评：本题考查了函数的图象的作法与应用，属于基础题．