Question

已知椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，离心率为

1

2

，F₁，F₂分别为其左右焦点，椭圆上点P到F₁与F₂距离之和为4，
（1）求椭圆C₁方程．
（2）若一动圆过F₂且与直线x=-1相切，求动圆圆心轨迹C方程．
（3）在（2）轨迹C上有两点M，N，椭圆C₁上有两点P，Q，满足

MF2

与

NF2

共线，

PF2

与

QF2

共线，且

PF2

•

MF2

=0，求四边形PMQN面积最小值．

Answer 1

分析：（1）由题设知

c a = 1 2 2a=4

，由此能求出椭圆C₁方程．
（2）设动圆圆心C（x，y），由动圆过

x2

4

+

y2

3

=1的右焦点F₂（1，0），且与直线x=-1相切，知

(x-1)2+y2

=|x+1|，由此能求出动圆圆心轨迹C方程．
（3）当直线斜率不存在时，|MN|=4，SPMQN=8；当直线斜率不存在时，设直线MN的方程为：y=k（x-1），直线PQ的方程为y=

1

k

（x-1），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），由

y=k(x-1) y2=4x

，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由抛物线定义可知：|MN|=|MF₂|+|NF₂|=4+

4

k2

，由此能求出四边形PMQN面积的最小值．

解答：解：（1）∵椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，离心率为

1

2

，
F₁，F₂分别为其左右焦点，椭圆上点P到F₁与F₂距离之和为4，
∴

c a = 1 2 2a=4

，解得a=2，c=1，b²=a²-c²=3，
∴椭圆C₁方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）设动圆圆心C（x，y），
∵动圆过

x2

4

+

y2

3

=1的右焦点F₂（1，0），且与直线x=-1相切，
∴

(x-1)2+y2

=|x+1|，
整理，得动圆圆心轨迹C方程为y²=4x．
（3）当直线斜率不存在时，|MN|=4，
此时PQ的长即为椭圆长轴长，|PQ|=4，
从而SPMQN=

1

2

|MN|•|PQ|=

1

2

×4×4=8，
设直线MN的斜率为k，直线MN的方程为：y=k（x-1），
直线PQ的方程为y=

1

k

（x-1），
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
由

y=k(x-1) y2=4x

，消去y可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
由抛物线定义可知：
|MN|=|MF₂|+|NF₂|=x₁+1+x₂+1
=

2k2+4

k2

+2=4+

4

k2

，
由

y= 1 k (x-1) x2 4 + y2 3 =1

，消去y得（3k²+4）x²-8x+4-12k²=0，
从而|PQ|=

1+(- 1 k )2

|x3-x4|=

12(1+k2)

3k2+4

，
∴S_PMQN=

1

2

|MN|•|PQ|=

1

2

|MN|•|PQ|
=

1

2

（4+

4

k2

）•

12(1+k2)

3k2+4

=24•

(1+k2)2

3k4+4k2

，
令1+k²=t，∵k＞0，则t＞1，
则S_PMQN=

24t2

3(t-1)2+4(t-1)

=

24t2

3t2-2t-1

=

24

3- 2 t - 1 t2

．
因为3-

2

t

-

1

t2

=4-（1+

1

t

）²∈（0，3），
所以S_PMQN=

24

3- 2 t - 1 t2

＞8，
所以四边形PMQN面积的最小值为8．

点评：本题考查椭圆方程和轨迹方程的求法，考查四边形面积的最小值的求法．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．