Question

（2011•潍坊二模）已知非零向量

a

、

b

满足|

a

|=

3

|

b

|，若函数f(x)=

1

3

x3+|

a

|x2+2

a

•

b

x+1在R上有极值，则＜

a

，

b

＞的取值范围是（　　）

• A．[0，

  π

  6

  ]
• B．(0，

  π

  3

  ]
• C．(

  π

  6

  ，

  π

  2

  ]
• D．(

  π

  6

  ，π]

Answer 1

分析：根据三次函数在R上有极值，可知方程f′（x）=0有两个不等的实数根，从而判别式大于0，结合条件|

a

|=

3

|

b

|，可求＜

a

，

b

＞的取值范围．

解答：解：∵f(x)=

1

3

x3+|

a

|x2+2

a

•

b

x+1
∴f′(x)=x2+2|

a

|x+2

a

•

b

令f′（x）=0
∵函数f(x)=

1

3

x3+|

a

|x2+2

a

•

b

x+1在R上有极值
∴方程f′（x）=0有两个不等的实数根
∴△=4|

a

|2 -8

a

•

b

＞ 0
∵|

a

|=

3

|

b

|
∴12|

b

|2-8

3

|

b

|2cos＜

a

，

b

＞＞0
∴cos＜

a

，

b

＞＜

3

2

∵0≤＜

a

，

b

＞≤π
∴

π

6

＜＜

a

，

b

＞≤π
∴＜

a

，

b

＞的取值范围是(

π

6

，π]
故选D．

点评：本题以函数极值为载体，考查导数知识的运用，考查向量的数量积，解题的关键是转化为方程f′（x）=0有两个不等的实数根．