Question

11．已知向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为30°，且$|\overrightarrow a|=\sqrt{3}，|\overrightarrow b|=1$，设$\overrightarrow m=\overrightarrow a+\overrightarrow b，\overrightarrow n=\overrightarrow a-\overrightarrow b$，则向量$\overrightarrow m$在$\overrightarrow n$方向上的投影为2．

Answer 1

分析 由题意可得$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$和|$\overrightarrow{n}$|的值，而向量$\overrightarrow m$在$\overrightarrow n$方向上的投影为|$\overrightarrow{m}$|cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{n}|}$，代入计算可得．

解答 解：由题意可得$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$=2，
|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{3-2×\sqrt{3}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}+1}$=1，
∴向量$\overrightarrow m$在$\overrightarrow n$方向上的投影为|$\overrightarrow{m}$|cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{n}|}$=2
故答案为：2．

点评 本题考查向量的投影，涉及向量的数量积和模长的运算，属基础题．