Question

已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x₁（x₁＞0），过点A作抛物线C的切线l₁交x轴于点D，交y轴于点Q，交直线于点M，当|FD|=2时，∠AFD=60°．
（1）求证：△AFQ为等腰三角形，并求抛物线C的方程；
（2）若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l₂交直线l₁于点P，交直线l于点N，求△PMN面积的最小值，并求取到最小值时的x₁值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设，则A处的切线方程为，即可得到得D，Q的坐标，利用两点间的距离公式即可得到|FQ|=|AF|．由点A，Q，D的坐标可知：D为线段AQ的中点，利用等腰三角形的性质可得FD⊥AQ，可得|AF|，利用两点间的距离概率及点A满足抛物线的方程即可得出．
（2）设B（x₂，y₂）（x₂＜0），则B处的切线方程为，与切线l₁的方程联立即可得到点P的坐标，同理求出点M，N的坐标．进而得到三角形PMN的面积（h为点P到MN的距离），利用表达式及其导数即可得到最小值，即可得出x₁的值．
解答：解：（1）设，则A处的切线方程为，
可得：，
∴；
∴△AFQ为等腰三角形．
由点A，Q，D的坐标可知：D为线段AQ的中点，
∴|AF|=4，得：
∴p=2，C：x²=4y．
（2）设B（x₂，y₂）（x₂＜0），则B处的切线方程为
联立得到点P，联立得到点M．
同理，
设h为点P到MN的距离，则==  ①

设AB的方程为y=kx+b，则b＞0，
由得到x²-4kx-4b=0，
得代入①得：S_△==，
要使面积最小，则应k=0，得到②
令，得=，则=，
所以当时，S（t）单调递减；当时，S（t）单调递增，
所以当时，S取到最小值为，此时，k=0，
所以，解得．
故△PMN面积取得最小值时的x₁值为．
点评：本题综合考查了利用导数的几何意义得到抛物线的切线的斜率、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、等腰三角形的性质、利用导数研究函数的单调性、极值与最值等知识与方法，熟练掌握其解题模式是解题的关键．