Question

2．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P．
（Ⅰ）若PD=8，CD=1，PO=9，求⊙O的半径；
（Ⅱ）若E为⊙O上的一点，$\widehat{AE}=\widehat{AC}$，DE交AB于点F，求证：PF•PO=PA•PB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若PD=8，CD=1，PO=9，利用割线定理求⊙O的半径；
（Ⅱ）连接OC、OE，先证明△PDF∽△POC，再利用割线定理，即可证得结论．

解答 （Ⅰ）解：∵PA交圆O于B，A，PC交圆O于C，D，
∴PD•PC=PB•PA…（2分）
∴PD•PC=（PO-r）（PO-r）…（3分）
∴8×9=9²-r²--------------（5分）
（Ⅱ）证明：连接EO  CO
∵$\widehat{AE}$=$\widehat{AC}$，∴∠EOA=∠COA
∵∠EOC=2∠EDC，∠EOA=∠COA
∴∠EDC=∠AOC，∴∠COP=∠FDP…（7分）
∵∠P=∠P，∴△PDF～△POC---------------（9分）
∴PF•PO=PD•PC，
∵PD•PC=PB•PA，
∴PF•PO=PA•PB---------------（10分）

点评 本题考查的是圆周角定理，相似三角形的判定与性质及割线定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．