Question

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知对任意的n∈N^*，点（n，S_n），均在函数y=b^x+r（b＞0）且b≠1，b，r均为常数）的图象上．
（1）求r的值；
（2）当b=2时，记b_n=

n+1

4an

（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由“对任意的n∈N⁺，点（n，S_n），均在函数y=b^x+r（b＞0，且b≠1，b，r均为常数）的图象上”可得到S_n=bⁿ+r，依次求出a₁、a₂、a₃，由等比数列的性质（a₂）²=a₁×a₃，解可得答案．
（2）结合（1）可知a_n=（b-1）b^n-1=2^n-1，从而bn=

n+1

4an

=

n+1

4×2n-1

=

n+1

2n+1

，符合一个等差数列与等比数列相应项之积的形式，用错位相减法求解即可．

解答：解：因为对任意的n∈N⁺，点（n，S_n），均在函数y=b^x+r（b＞0，且b≠1，b，r均为常数）的图象上．
所以得S_n=bⁿ+r，
当n=1时，a₁=S₁=b+r，
a₂=S₂-S₁=b²+r-（b¹+r）=b²-b¹=（b-1）b，
a₃=S₃-S₂=b³+r-（b²+r）=b³-b²=（b-1）b²，
又因为{a_n}为等比数列，所以（a₂）²=a₁×a₃，
解可得r=-1，
（2）当b=2时，a_n=（b-1）b^n-1=2^n-1，bn=

n+1

4an

=

n+1

4×2n-1

=

n+1

2n+1

则T_n=

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n+1

2n+1

1

2

Tn=

2

23

+

3

24

+

4

25

+…+

n

2n+1

+

n+1

2n+2

相减，得

1

2

Tn=

2

22

+

1

23

+

1

24

+

1

25

+…+

1

2n+1

-

n+1

2n+2

1

2

+

1 23 ×(1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

n+1

2n+2

=

3

4

-

1

2n+1

-

n+1

2n+2

所以Tn=

3

2

-

1

2n

-

n+1

2n+1

=

3

2

-

n+3

2n+1

点评：本题主要考查数列与函数的综合运用，主要涉及了数列的通项与前n项和间的关系，错位相减法求和等问题，属中档题，是常考类型．