Question

（Ⅰ）试比较

2

，

3	3

，

5	5

的大小；
（Ⅱ）试比较nⁿ⁺¹与（n+1）ⁿ（n∈N₊）的大小，根据（Ⅰ）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）用指数运算把根式化成整数后再比较大小
（2）给n赋值，计算结果，从而得到猜想，然后再用作商法证明猜想

解答：解：（Ⅰ）由于(

2

)6=8，(

3	3

)6=9，则

3	3

＞

2

又(

2

)10=32，(

5	5

)10=25，则

2

＞

5	5

所以

3	3

＞

2

＞

5	5

（Ⅱ）猜想：当n=1，2时，有nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ ；     当n≥3时，有nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ
证明如下：①当n=1时，不等式可化为：1＜2，显然成立
当n=2时，不等式可化为：2³＜3²，显然成立
②当n≥3时
设an=

nn+1

(n+1)n

(n≥3，n∈N+)，a3=

34

43

=

81

64

＞1
又

an+1

an

=

(n+1)n+2(n+1)n

(n+2)n+1nn+1

=[

(n+1)2

(n+2)n

]n+1=[

(n+2)n+1

(n+2)n

]n+1＞1
∴a_n+1＞a_n，即数列{a_n}是一个单调递增数列
则a_n＞a_n-1＞…＞a₃＞1
∴

nn+1

(n+1)n

＞1即nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ
综上所述，当n=1、2时，有nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ
当n≥3时，n^n+!＞（n+1）ⁿ

点评：本题考查比较大小，间接考查指数运算和归纳推理．比较两个数的大小，最基本的方法是作差或作商．属简单题