Question

已知函数f（x）=x³+2x+sinx（x∈R），f（x₁）+f（x₂）＞0，则下列不等式正确的是（　　）

• A、x₁＞x₂
• B、x₁＜x₂
• C、x₁+x₂＜0
• D、x₁+x₂＞0

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：先证明函数f（x）是R上单调递增函数，是奇函数，由f（x₁）+f（x₂）＞0即可推得x₁+x₂＞0．

解答： 解：∵f（x）=x³+2x+sinx
∴f′（x）=3x²+2+cosx=3x²+（2+cosx）
∵3x²≥0，2+cosx＞0恒成立，
故f′（x）＞0，
故函数f（x）是R上单调递增函数；
又因为f（-x）=（-x）³+2（-x）+sin（-x）=-x³-2x-sinx=-（x³+2x+sinx）=-f（x）
所以有：f（x₁）+f（x₂）＞0⇒f（x₁）＞-f（x₂）=f（-x₂）⇒x₁＞-x₂⇒x₁+x₂＞0
故选：D．

点评：本题主要考察了利用导数研究函数的单调性，函数奇偶性的判定，属于中档题．