Question

已知命题p：在x∈[1，2]内，不等式x²+ax-2＞0恒成立；命题q：函数f(x)=log

1

3

(x2-2ax+3a)是区间[1，+∞）上的减函数．若命题“p?q”是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：利用复合命题真假的判断方法求解实数a的取值范围是解决本题的关键．首先要确定出命题p，q为真的字母a的取值范围，利用恒成立问题的分离变量方法得出命题p为真的a的范围；利用复合函数单调性的方法得出命题q为真的a的范围，注意对数函数定义域的意识．

解答：解：∵x∈[1，2]时，不等式x²+ax-2＞0恒成立
∴a＞

2-x2

x

=

2

x

-x在x∈[1，2]上恒成立，
令g(x)=

2

x

-x，则g（x）在[1，2]上是减函数，
∴g（x）_max=g（1）=1，∴a＞1．即若命题p真，则a＞1；
又∵函数f(x)=log

1

3

(x2-2ax+3a)是区间[1，+∞）上的减函数，
∴

u(x)=x2-2ax+3a是[1，+∞)上的增函数 u(x)=x2-2ax+3a＞0在[1，+∞)上恒成立

∴

a≤1 u(1)＞0

∴-1＜a≤1．即若命题q真，则-1＜a≤1．
若命题“p?q”是真命题，则有p真q假或p假q真或p，q均为真命题，
若p真q假，则有a＞1，若p假q真，则有-1＜a≤1，若p，q均为真命题，不存在a；
综上可得实数a的取值范围是a＞-1．

点评：本题考查复合命题真假与简单命题真假之间的关系，或形式的命题为真只要二者都不为假命题即可，因此要分三种情况进行确定．首先要确定出这两个简单命题分别为真的a的范围，这是解决本题的突破口，考查学生的转化与化归能力．