Question

过圆C：（x-1）²+（y-1）²=1的圆心，作直线分别交x，y正半轴于点A、B，△AOB被圆分成I、II、III、IV四个部分（如图），若这四部分图形面积满足①S_I+S_IV=S_II+S_III，②S_I+S_II+S_III=S_IV，则分别满足①、②的直线AB各有（　　）

A、1条；2条

B、1条；无数条

C、2条；2条

D、3条；1条

Answer 1

分析：由圆的方程得到圆心坐标和半径，根据四部分图形面积满足①S_|+S_IV=S_||+S_|||，得到S_IV-S_II=S_Ⅲ-S_I，第II，IV部分的面积是定值，所以S_Ⅲ-S_I为定值，所以得到满足①条件的直线有且仅有一条；把条件②S_I+S_II+S_III=S_IV变形为S_IV-S_II=S_I+S_III，第II，IV部分的面积是定值，得到S_I+S_III为定值，并求出此定值，显然直线AB的斜率存在，设出直线AB的斜率为k，根据直线AB过C点，写出直线AB的方程，分别令x=0和y=0求出对应的y值与x值，得到A与B的坐标，进而表示出OA与OB的长，由四边形CEOF为边长为1的正方形，得到OE=OF=1，进而表示出BE及AF，表示出三角形BCE与三角形ACF的面积，又把扇形CEM与扇形CFN旋转为一个大扇形，根据直角三角形的两锐角互余得到大扇形的圆心角为直角，半径为1，求出此时大扇形的面积，用三角形BCE与三角形ACF的面积之和减去大扇形的面积即为S_I+S_III，等于求出的定值，列出关于k的方程，整理后根据根的判别式大于0，得到方程有两个不相等的实数根，进而确定出满足题意的直线AB有两条，综上，得到分别满足①、②的直线AB的条数．

解答：
解：∵圆C的方程为：（x-1）²+（y-1）²=1，
∴圆心C坐标为（1，1），半径r=1，
可得圆C与x轴及y轴相切，切点分别为E和F，连接CE及CF，
由已知S_I+S_IV=S_II+S_III，变形得：S_IV-S_II=S_Ⅲ-S_I，
由图形可知第II，IV部分的面积分别为：
S_{正方形OECF}-S_扇形ECF=1-

π

4

和S_半圆=

π

2

，
所以，S_IV-S_II为定值，即S_Ⅲ-S_I为定值，
当直线AB绕着圆心C移动时，
只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有1条，
则满足条件①的直线AB有1条；
由第II，IV部分的面积分别为：
S_{正方形OECF}-S_扇形ECF=1-

π

4

和S_半圆=

π

2

，
由已知S_I+S_II+S_III=S_IV，变为得：S_IV-S_II=S_I+S_III=

3π

4

-1，
显然直线AB的斜率存在，设直线AB的斜率为k，由直线AB过C（1，1），
∴直线AB的方程为：y-1=k（x-1），即kx-y+1-k=0，
令x=0，解得y=1-k，故OB=1-k，
令y=0，解得x=

k-1

k

，故OA=

k-1

k

，
S_I+S_III=（S_△BCE+S_△ACF）-（S_扇形MEC+S_扇形NCF）=

1

2

BE•CE+

1

2

AF•CF-

90π

360

=

1

2

（1-k-1）+

1

2

（1-

1

k

-1）-

π

4

=

1

2

（-k-

1

k

）-

π

4

=

3π

4

-1，
整理得：2k²+（4π-4）k+2=0，
∵△=（4π-4）²-16=16π²-32π＞0，
∴方程有两个不相等的实数解，
即满足题意的k值有两解，
则满足条件②的直线AB有2条，
综上，分别满足①、②的直线AB各有1条；2条．
故选A

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：扇形面积的求法，直线与坐标轴的交点坐标，阴影部分面积的求法，以及利用根的判别式判断一元二次方程解的情况，利用了转化的思想，是一道综合性较强的题．